Trong nhiều bài toán, tìm được một đáp số gần đúng đã có thể hữu ích. Nhưng với phương trình hàm, một câu hỏi khác xuất hiện. Nếu một hàm không thỏa mãn phương trình một cách hoàn toàn chính xác mà chỉ sai lệch một lượng nhỏ, liệu có thể khẳng định rằng ở gần nó tồn tại một nghiệm chính xác hay không?

Đó là cách tương đối trực quan để đi vào lý thuyết ổn định Ulam-Hyers, hướng nghiên cứu mà TS. Nguyễn Thị Thanh Lý, giảng viên Khoa Sư phạm Toán – Tin, Trường Đại học Đồng Tháp, theo đuổi trong luận án tiến sĩ ngành Toán giải tích. Ngày 6/7/2026, bà bảo vệ thành công luận án “Tính ổn định Ulam-Hyers của một số phương trình hàm và áp dụng” tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn Văn Dũng và PGS.TS. Lý Kim Hà.

TS. Nguyễn Thị Thanh Lý trình bày luận án tiến sĩ ngành Toán giải tích tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM, ngày 6/7/2026. Ảnh HCMUS.

Khi một nghiệm gần đúng chưa phải là câu trả lời cuối cùng

Ý tưởng về tính ổn định đặt ra một yêu cầu chặt hơn so với việc chỉ quan sát rằng sai số đang nhỏ. Nhà nghiên cứu cần xác định liệu từ một nghiệm gần đúng có thể tìm được một nghiệm chính xác đủ gần nó hay không, khoảng gần ấy được kiểm soát như thế nào và kết luận còn đúng trong những cấu trúc toán học nào.

Trong luận án, TS. Nguyễn Thị Thanh Lý khảo sát nhiều lớp phương trình hàm gồm đa tuyến tính suy rộng, đa bậc hai suy rộng, hỗn hợp cộng tính – bậc hai suy rộng và bậc ba suy rộng. Các bài toán được đặt trong những không gian tựa Banach và tựa p-Banach, nơi những công cụ quen thuộc của giải tích không phải lúc nào cũng có thể được sử dụng nguyên vẹn.

Công việc vì thế không dừng ở việc tìm một nghiệm cụ thể. Điều cần thiết là xây dựng các điều kiện đủ để tính ổn định được bảo đảm, rồi kiểm tra chính xác phạm vi mà các điều kiện ấy còn hiệu lực. Luận án đồng thời sử dụng ví dụ và phản ví dụ để chỉ ra những trường hợp một kết luận có thể tiếp tục mở rộng và những trường hợp không thể.

Một kết quả cụ thể của hướng nghiên cứu này xuất hiện trong bài báo của TS. Nguyễn Thị Thanh Lý và PGS.TS. Nguyễn Văn Dũng đăng trên tạp chí Fixed Point Theory năm 2025. Công trình giải quyết một câu hỏi mở liên quan đến tính ổn định của phương trình hàm hỗn hợp cộng tính và bậc hai tổng quát.

Hai tác giả chứng minh câu trả lời khẳng định trong miền điều kiện β < a+b < 2β bằng phương pháp điểm bất động. Tuy nhiên, khi đi đến hai trường hợp biên a+b=β và a+b=2β, họ xây dựng được các phản ví dụ. Điều đó có nghĩa kết quả không thể đơn giản kéo dài đến tận biên chỉ vì nó đúng trong khoảng nằm giữa.

TS. Nguyễn Thị Thanh Lý cùng Hội đồng đánh giá luận án và các giảng viên hướng dẫn sau buổi bảo vệ luận án tiến sĩ ngành Toán giải tích, tháng 7/2026. Ảnh HCMUS.

Trong nghiên cứu toán học, phản ví dụ không phải phần phụ của một chứng minh. Nó giúp chỉ ra chính xác nơi một nhận định dừng lại. Nếu chỉ chứng minh được mệnh đề trong một miền điều kiện mà không biết điều gì xảy ra ở ranh giới, phạm vi của kết quả vẫn chưa được xác định đầy đủ.

Cách tiếp cận đó cũng xuất hiện xuyên suốt luận án của TS. Nguyễn Thị Thanh Lý. Bên cạnh việc thiết lập những điều kiện đủ cho tính ổn định Ulam-Hyers, luận án xây dựng các hệ quả cho những trường hợp riêng và sử dụng phản ví dụ để kiểm tra giới hạn của các kết luận lý thuyết. Ba công trình từ luận án đã được công bố trên các tạp chí quốc tế thuộc Web of Science, gồm một bài thuộc nhóm Q1, một bài Q2 và một bài Q3.

Một hướng nghiên cứu được theo đuổi qua nhiều năm

Luận án hoàn thành năm 2026 không phải điểm khởi đầu của TS. Nguyễn Thị Thanh Lý với giải tích và lý thuyết điểm bất động. Hồ sơ chuyên môn hiện tại của Trường Đại học Đồng Tháp ghi nhận lĩnh vực nghiên cứu của bà gồm topo và lý thuyết điểm bất động. Trong công việc giảng dạy, bà phụ trách các học phần thuộc giải tích cổ điển và giải tích hiện đại.

Từ trước khi hoàn tất chương trình tiến sĩ, TS. Nguyễn Thị Thanh Lý đã có các công bố liên quan đến không gian metric tổng quát và bài toán điểm bất động. Một hội thảo quốc tế về toán học tại Trường Đại học Đồng Tháp năm 2021 cũng ghi nhận bà trình bày nghiên cứu trong lĩnh vực phương trình hàm khi khi đó còn mang học vị thạc sĩ.

Đến tháng 10/2025, tại hội thảo khoa học về giảng dạy và ứng dụng toán học ở Đồng bằng sông Cửu Long do Trường Đại học Tây Đô tổ chức, bà tiếp tục trình bày báo cáo “On the Stability of General Mixed Additive and Quadratic”. Chủ đề này nằm trực tiếp trong mạch nghiên cứu về tính ổn định của phương trình hỗn hợp cộng tính và bậc hai mà bà cùng PGS.TS. Nguyễn Văn Dũng công bố trên Fixed Point Theory cùng năm.

Các báo cáo viên tại Hội thảo khoa học “Giảng dạy và Ứng dụng Toán học tại Đồng bằng sông Cửu Long”, tháng 10/2025. TS. Nguyễn Thị Thanh Lý tham gia hội thảo với báo cáo về tính ổn định của phương trình hỗn hợp cộng tính và bậc hai. Ảnh Trường Đại học Tây Đô.

Sự nối tiếp giữa báo cáo học thuật, công bố quốc tế và luận án cho thấy đây là một hướng nghiên cứu được tích lũy qua thời gian, không phải một đề tài chỉ xuất hiện ở thời điểm bảo vệ tiến sĩ. Luận án năm 2026 mở rộng phạm vi khảo sát sang nhiều lớp phương trình hàm hơn và đặt chúng trong những không gian tổng quát hơn.

Ở một lĩnh vực toán học cơ bản, giá trị của một kết quả không nhất thiết nằm ở khả năng chuyển ngay thành sản phẩm hay công nghệ. Có những công trình tiến thêm bằng cách chứng minh một kết luận đúng dưới điều kiện nào, cải thiện một định lý đã có hoặc tìm ra một phản ví dụ cho thấy một giả thiết không thể bỏ đi.

Vì thế, chữ “áp dụng” trong tên luận án không nên được hiểu thành việc các kết quả đã được ứng dụng trực tiếp vào một sản phẩm, thuật toán hay hệ thống kỹ thuật. Những tài liệu hiện có xác lập rõ hơn đóng góp ở phương diện lý thuyết, gồm mở rộng kết quả về tính ổn định của phương trình hàm, phát triển công cụ nghiên cứu và tạo cơ sở để tiếp tục khảo sát những lớp phương trình khác.

Khoảng cách giữa nghiệm gần đúng và nghiệm chính xác vì vậy không chỉ là cách diễn đạt để đưa một vấn đề toán học đến gần độc giả. Trong nghiên cứu của TS. Nguyễn Thị Thanh Lý, chính việc xác định khi nào khoảng cách ấy có thể được kiểm soát, và khi nào một kết luận thất bại ở ranh giới, tạo nên phần cốt lõi của bài toán. Những kết quả hoàn thành trong luận án năm 2026 tiếp tục đi theo đường hướng đó, với mục tiêu mở rộng phạm vi mà lý thuyết ổn định có thể được xác lập một cách chặt chẽ.